{"id":151,"date":"2009-11-04T18:13:10","date_gmt":"2009-11-04T16:13:10","guid":{"rendered":"http:\/\/gate.rdue.net\/mygate\/blog\/?p=151"},"modified":"2009-11-04T18:13:10","modified_gmt":"2009-11-04T16:13:10","slug":"mathematik-extremal-probleme-integrieren","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/duerrenberger.dev\/journal\/2009\/11\/04\/mathematik-extremal-probleme-integrieren\/","title":{"rendered":"Mathematik \u2013 Extremal Probleme &#038; Integrieren"},"content":{"rendered":"<p>So wieder einmal einen kleinen Beitrag zum Thema Mathematik.<\/p>\n<h2>Extremal Probleme<\/h2>\n<p>Da es nicht einen grossen Nutze hat, wenn man einzelne Aufgabe hier vor l\u00f6st, werde ich einen \u201cAlgorithmus\u201d erstellen, mit welchem wohl die meisten Probleme gel\u00f6st werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Problemerkennung:<\/strong> Die f\u00fcr viele wohl am Schwierigste Aufgabe ist das Erkennen des Problems bzw. das Suchen nach dem Ziel. Dies ist meist sehr logisch und kann daher nur durch viel \u00fcben angeeignet werden. Als Tipp kann ich h\u00f6chstens sagen: Lest die Aufgabe mehrmals gut durch, erstellt eine Skizze und schreibt euch die gegebenen Dinge auf. <\/li>\n<li><strong>Suchen der Zielfunktion: <\/strong>Da man nun weiss was gesucht ist, muss man dies Mathematisch ausdr\u00fccken k\u00f6nnen. Daf\u00fcr \u00fcberlegt man sich was genau im Extremum stehen soll. Meist ist es eine Fl\u00e4che, eine Strecke, einen Umfang o.\u00e4. Die Formeln zu Fl\u00e4chen und Umf\u00e4nge kann man gut in der Formelsammlung nachschlagen. <\/li>\n<li><strong>Suchen der Nebenbedingung(en): <\/strong>Das wohl zweit schwerste oder z.T. auch schwerste ist das Suchen nach den Nebenbedingungen. Der Nutzen von Nebenbedingungen ist, dass man f\u00fcr das L\u00f6sen der Zielfunktion nur eine Unbekannt haben darf. Man muss nun also Nebenbedingungen eliminieren. Daf\u00fcr gibt es unz\u00e4hlige Methoden, welche hier nat\u00fcrlich nicht aufgef\u00fchrt werden. Was jedoch meistens anwendbar ist, ist das Umformen, so dass die anderen Unbekannten nur noch von der einen Unbekannten abh\u00e4ngig ist. (z.B. Wenn man x und y als Unbekannte hat und die Funktion y=x^2, dann kann man x^2 anstatt von y verwenden.) <\/li>\n<li><strong>L\u00f6sen:<\/strong> Nachdem man nun die Zielfunktion und die Nebenbedingungen hat, kann man die Nebenbedingungen in die Zielfunktion einsetzten und man erh\u00e4lt eine Funktion mit einer Unbekannten. Da man ja ein Extremum (Maximum\/Minimum) m\u00f6chte, leitet man die erhaltene Funktion ab und setzten diese gleich Null. Warum? Da an den Nullstellen der Ableitung einer Funktion normalerweise ein Extremum existiert. (Siehe Formelsammlung) <\/li>\n<li><strong>\u00dcberpr\u00fcfung:<\/strong> Wie oben geschrieben gibt es \u201cmeist\u201d ein Extremum, um dies zu \u00fcberpr\u00fcfen, muss\/kann man nun noch die zweite Ableitung der Funktion erstellen und die durch die erste Ableitung erhaltenen Nullstelllen einsetzten. Wenn das Resultat Negativ ist, hat man ein Maximum (H\u00f6hepunkt). Wenn das Resultat Positiv ist, hat man ein Minimum (Tiefpunkt). Wenn das Resultat gleich Null ist, hat man kein Extrempunkt. <\/li>\n<li><strong>Erf\u00fcllung der Aufgabenstellung:<\/strong> Nun muss man nochmals die Aufgabenstellung betrachten und auch wirklich die Dinge berechnen, welche dann gefragt sind! <\/li>\n<\/ul>\n<h2>Integrieren<\/h2>\n<p>Analog zu Extremal Problemen erstell ich hier einen \u201cAlgorithmus\u201d.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Problemerkennung:<\/strong> Das Problem beim Integrieren ist wohl meist das finden einer bestimmten Fl\u00e4che unter einer Parabel o.\u00e4. Auch hier ist eine Skizze meist sehr hilfreich, was jedoch bei Parabeln gerade auch sehr trickreich sein kann. Wenn man eine gegebene Funktion hat, kann man diese auch auf dem Taschenrechner zeichnen lassen damit man eine ungef\u00e4hre Vorstellung hat. Auch hier kann ich keine konkreten L\u00f6sungswege geben. <\/li>\n<li><strong>Informationen zum L\u00f6sen suchen:<\/strong> Da jede Aufgabe sehr differenziert sein kann, werd ich ein wenig allgemeiner. Um eine Fl\u00e4che zu berechnen ben\u00f6tigt man die folgenden Informationen: Obere und untere Grenze, die Funktion und ihre Stammfunktion (\u201cAufleitung\u201d) und jeweils nur eine unbekannte. Wenn es nun mehrere Unbekannten gibt, muss man entweder mehrere Gleichungen finden, oder die Unbekannten eliminieren. <\/li>\n<li><strong>L\u00f6sen:<\/strong> Nun haben wir alles zusammen und k\u00f6nnen die Fl\u00e4che berechnen. Um nicht nur den CAS Funktionen zu verwenden, m\u00fcssen wir die Stammfunktion (Aufleitung) zweimal berechnen, f\u00fcr das einmal nimmt man die obere Grenze als x und subtrahiert diese mit der zweiten, welche die untere Grenze als x annimmt. <\/li>\n<li><strong>Kontrolle:<\/strong> Um zu kontrollieren, ob unser Resultat nun auch wirklich richtig ist, kann man nun die CAS Funktion \u201cintegrate\u201d verwenden, dazu muss man zuerst das Integralzeichen mit der Klammer aufschreiben (-&gt;Katalog) und danach gibt man der Reihe nach, die gegebene Funktion (nicht Stammfunktion), dann die verwendet Variable (meist x), dann die untere Grenze und dann die obere Grenze, und alles wird mit einem Komma getrennt. Wenn nun eure Resultat mit dem des Taschenrechners \u00fcbereinstimmt, habt ihrs richtig gel\u00f6st! <\/li>\n<li><strong>Erf\u00fcllung der Aufgabenstellung:<\/strong> Nun muss man nochmals die Aufgabenstellung betrachten und auch wirklich die Dinge berechnen, welche dann gefragt sind! <\/li>\n<\/ul>\n<h5><\/h5>\n<h2>Taschenrechner<\/h2>\n<p>Hier noch ein paar Bilder wie man etwas in den Taschenrechner eingibt.<\/p>\n<p>Extremal Problem l\u00f6sen<\/p>\n<p><a href=\"\/wp-content\/uploads\/2009\/11\/int3.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" style=\"border-right-width: 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px\" title=\"int3\" border=\"0\" alt=\"int3\" src=\"\/wp-content\/uploads\/2009\/11\/int3_thumb.png\" width=\"179\" height=\"119\" \/><\/a>&#160;<a href=\"\/wp-content\/uploads\/2009\/11\/int41.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" style=\"border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: inline; border-top: 0px; border-right: 0px\" title=\"int4\" border=\"0\" alt=\"int4\" src=\"\/wp-content\/uploads\/2009\/11\/int4_thumb1.png\" width=\"180\" height=\"80\" \/><\/a> <\/p>\n<p>\u201cAufleiten\u201d<a href=\"\/wp-content\/uploads\/2009\/11\/int1.png\"><\/a><\/p>\n<\/p>\n<p> <a href=\"\/wp-content\/uploads\/2009\/11\/int2.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" style=\"border-right-width: 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; margin-left: 0px; border-left-width: 0px; margin-right: 0px\" title=\"int2\" border=\"0\" alt=\"int2\" src=\"\/wp-content\/uploads\/2009\/11\/int2_thumb.png\" width=\"178\" height=\"120\" \/><\/a>   <\/p>\n<p>Integrieren<\/p>\n<p><a href=\"\/wp-content\/uploads\/2009\/11\/int1.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" style=\"border-right-width: 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; margin-left: 0px; border-left-width: 0px; margin-right: 0px\" title=\"int1\" border=\"0\" alt=\"int1\" src=\"\/wp-content\/uploads\/2009\/11\/int1_thumb.png\" width=\"176\" height=\"88\" \/><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>So wieder einmal einen kleinen Beitrag zum Thema Mathematik. 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