Mathematik – Extremal Probleme & Integrieren

So wieder einmal einen kleinen Beitrag zum Thema Mathematik.

Extremal Probleme

Da es nicht einen grossen Nutze hat, wenn man einzelne Aufgabe hier vor löst, werde ich einen “Algorithmus” erstellen, mit welchem wohl die meisten Probleme gelöst werden können.

Problemerkennung: Die für viele wohl am Schwierigste Aufgabe ist das Erkennen des Problems bzw. das Suchen nach dem Ziel. Dies ist meist sehr logisch und kann daher nur durch viel üben angeeignet werden. Als Tipp kann ich höchstens sagen: Lest die Aufgabe mehrmals gut durch, erstellt eine Skizze und schreibt euch die gegebenen Dinge auf.
Suchen der Zielfunktion: Da man nun weiss was gesucht ist, muss man dies Mathematisch ausdrücken können. Dafür überlegt man sich was genau im Extremum stehen soll. Meist ist es eine Fläche, eine Strecke, einen Umfang o.ä. Die Formeln zu Flächen und Umfänge kann man gut in der Formelsammlung nachschlagen.
Suchen der Nebenbedingung(en): Das wohl zweit schwerste oder z.T. auch schwerste ist das Suchen nach den Nebenbedingungen. Der Nutzen von Nebenbedingungen ist, dass man für das Lösen der Zielfunktion nur eine Unbekannt haben darf. Man muss nun also Nebenbedingungen eliminieren. Dafür gibt es unzählige Methoden, welche hier natürlich nicht aufgeführt werden. Was jedoch meistens anwendbar ist, ist das Umformen, so dass die anderen Unbekannten nur noch von der einen Unbekannten abhängig ist. (z.B. Wenn man x und y als Unbekannte hat und die Funktion y=x^2, dann kann man x^2 anstatt von y verwenden.)
Lösen: Nachdem man nun die Zielfunktion und die Nebenbedingungen hat, kann man die Nebenbedingungen in die Zielfunktion einsetzten und man erhält eine Funktion mit einer Unbekannten. Da man ja ein Extremum (Maximum/Minimum) möchte, leitet man die erhaltene Funktion ab und setzten diese gleich Null. Warum? Da an den Nullstellen der Ableitung einer Funktion normalerweise ein Extremum existiert. (Siehe Formelsammlung)
Überprüfung: Wie oben geschrieben gibt es “meist” ein Extremum, um dies zu überprüfen, muss/kann man nun noch die zweite Ableitung der Funktion erstellen und die durch die erste Ableitung erhaltenen Nullstelllen einsetzten. Wenn das Resultat Negativ ist, hat man ein Maximum (Höhepunkt). Wenn das Resultat Positiv ist, hat man ein Minimum (Tiefpunkt). Wenn das Resultat gleich Null ist, hat man kein Extrempunkt.
Erfüllung der Aufgabenstellung: Nun muss man nochmals die Aufgabenstellung betrachten und auch wirklich die Dinge berechnen, welche dann gefragt sind!

Integrieren

Analog zu Extremal Problemen erstell ich hier einen “Algorithmus”.

Problemerkennung: Das Problem beim Integrieren ist wohl meist das finden einer bestimmten Fläche unter einer Parabel o.ä. Auch hier ist eine Skizze meist sehr hilfreich, was jedoch bei Parabeln gerade auch sehr trickreich sein kann. Wenn man eine gegebene Funktion hat, kann man diese auch auf dem Taschenrechner zeichnen lassen damit man eine ungefähre Vorstellung hat. Auch hier kann ich keine konkreten Lösungswege geben.
Informationen zum Lösen suchen: Da jede Aufgabe sehr differenziert sein kann, werd ich ein wenig allgemeiner. Um eine Fläche zu berechnen benötigt man die folgenden Informationen: Obere und untere Grenze, die Funktion und ihre Stammfunktion (“Aufleitung”) und jeweils nur eine unbekannte. Wenn es nun mehrere Unbekannten gibt, muss man entweder mehrere Gleichungen finden, oder die Unbekannten eliminieren.
Lösen: Nun haben wir alles zusammen und können die Fläche berechnen. Um nicht nur den CAS Funktionen zu verwenden, müssen wir die Stammfunktion (Aufleitung) zweimal berechnen, für das einmal nimmt man die obere Grenze als x und subtrahiert diese mit der zweiten, welche die untere Grenze als x annimmt.
Kontrolle: Um zu kontrollieren, ob unser Resultat nun auch wirklich richtig ist, kann man nun die CAS Funktion “integrate” verwenden, dazu muss man zuerst das Integralzeichen mit der Klammer aufschreiben (->Katalog) und danach gibt man der Reihe nach, die gegebene Funktion (nicht Stammfunktion), dann die verwendet Variable (meist x), dann die untere Grenze und dann die obere Grenze, und alles wird mit einem Komma getrennt. Wenn nun eure Resultat mit dem des Taschenrechners übereinstimmt, habt ihrs richtig gelöst!
Erfüllung der Aufgabenstellung: Nun muss man nochmals die Aufgabenstellung betrachten und auch wirklich die Dinge berechnen, welche dann gefragt sind!